Opinió sobre la conferència de n’Arthur Benjamin al TED

Podeu veure la conferència aquí, només son 2 min 30 s. Si no voleu mirar-lo, vos en faig un petit resum: segons A. Benjamin, el currículum que ensenyam als joves (en aquest cas els nord-americans però aquesta circumstància és extrapolable al nostre país  també) està desfasat per a l’era en què ens trobam. Segons ell, el nostre currículum es basa massa en el càlcul pur i dur quan el que hauria de prioritzar és l’estadística i la probabilitat. A més, afegeix que aquest canvi seria ràpid i que no tendria cap cost, per tant el que “només” caldria és la voluntat de les institucions que al cap i a la fi són les que dissenyen els currículums de les matèries.

Anem per parts, és molt cert que la part del currículum que més es deixa de fer és l’estadística i la probabilitat vers el càlcul, que està present per tot. Emperò, aquesta branca de les matemàtiques no és fàcil d’ensenyar, ja que malauradament l’estadística no sol ser molt intuïtiva (recordem les paradoxes de l’estadística sobre les vaccines). Per tant, presenta dificultats des del punt de vista de l’ensenyament com de l’aprenentatge. El que vull dir és a més de voluntat de voler-la ensenyar, es necessitaria temps (no seria una cosa fàcil d’implementar des del principi, ja que els nostres alumnes estan molt habituals a fer càlculs) i una bona metodologia d’ensenyament. Així que segons el meu parer, canviar un currículum d’un extrem a l’altre requereix temps i un gran esforç, tan pels alumnes com pels docents.

Una altra frase que m’ha agradat molt és aquella que diu: “el nostre país no hagués entrat en recessió si els nostres ciutadans sabessin estadística”. M’agradaria dir que em pareix bastant encertada la frase en qüestió, encara que sempre he pensat que unes petites nocions d’economia: interès simple o compost, euríbor, probabilitat guanys i pèrdues, etc. seria també molt necessàries per a que els nostres ciutadans no es vegin en inferioritat a l’hora de firmar una hipoteca, obrir un negoci o simplement apostar a un nombre.

I per últim, m’agradaria parlar sobre el tema en qüestió que ell tracta, no es pot negar que l’estadística i la probabilitat és la branca que el ciutadà utilitzarà més sovint, i que a més,per calcular existeixen moltíssimes eines digitals que ens faciliten la vida, per tant sí que pens que s’hauria d’enfortir aquesta branca, especialment per als estudiants que no vulguin fer res que tengui a veure amb una carrera tecnològica o científica.

 

 

Anuncis
Opinió sobre la conferència de n’Arthur Benjamin al TED

La paradoxa de Teseu. El vaixell d’en Teseu.

Al llarg del temps, Teseu en el manteniment del seu vaixell reemplaça cada taula de fusta una a una – anomenarem a aquest primer vaixell com vaixell A. Emperò, conserva les taules substituïdes del vaixell A i alhora reconstrueix amb aquestes un nou vaixell, anomenat vaixell B. Al final d’aquest procés en Teseu té dos vaixells. Quin és el vaixell original d’en Teseu?

Aquesta famosa paradoxa tracta sobre la identitat dels cossos i la constitució material dels mateixos. S’associa a Plutarc (46-120 aC) encara que no es sap ben bé la seva autoria. Va ser llargament discutida pel filòsof Thomas Hobbes (1588-1679) en De  Corpore.

Hi ha dues maneres d’entendre la paradoxa. Per una banda si les taules velles han estat descartades o deixades en una pila, només es tendria un sol vaixell. I a pesar dels continus canvis en la seva constitució el vaixell A hauria mantingut la seva pròpia identitat i hauria romàs existent contínuament. Si un sol petit canvi en una taula significa que el vaixell ha estat reemplaçat per un altre, molt poques coses romandrien elles mateixes més d’un parell de segons. Nosaltres mateixos en seríem un exemple, ja que la nostra pròpia constitució molecular canvia constantment de mica en mica. Inclòs la pèrdua de les cames o dels braços no significa la destrucció de la identitat de la persona. Per tant, sembla clar des d’aquest context que el vaixell A seria l’original.

No obstant, en un altre context sembla més natural que el vaixell B sigui l’original. Suposem que el vaixell A d’en Teseu està fet molt malbé i necessita una reparació íntegra. Decideix reemplaçar cada taula per una de més barata i a més les taules reemplaçades són novament reparades i reconstruïdes en el nou vaixell B. No sembla més natural que el seu vaixell original sigui el B?

Per últim tenim que hem anat construint el vaixell B al mateix temps. Mentre es restaura parcialment el vaixell A només es té un sol vaixell -el vaixell A- el qual no té cap problema d’existència ni d’identitat fins que el vaixell B es completa. Per tant, quan el vaixell A, deixa de ser l’original? De sobte el vaixell B passa a ser el vaixell original d’en Teseu o hi ha una discontinuïtat en l’existència del vaixell? Hi podria haver tal discontinuïtat en l’existència d’un ésser?

També hi ha  l’opció de que B és igual a l’original vaixell A. I per tant, no fa falta determinar en quin moment es canvia d’un a l’altre o si són diferents. Però d’un sol vaixell es passa a tenir-ne dos? Serien dues existències individuals o la mateixa identitats duplicades? De la mateixa manera que un nin no es converteix en adult d’un dia per l’altre, excepte per motius que tenen a veure amb les lleis.

Com es veu, segons els contexts la resposta pot variar en una opció o en una altra però sí que és cert que no existeix misteri en el que haurà passat amb el vaixell, o sí? Suposem que el vaixell A estava assegurat, una vegada en Teseu fa tot el procés de reconstrucció, quin seria el vaixell que tendria assegurat? Com ho determinaries tu?

La paradoxa de Teseu. El vaixell d’en Teseu.

La corba de transició per al traçat de les carreteres en planta.

Quan un circula per la carretera i agafa una corba, gira el volant suaument en direcció a la corba fins que arriba a un punt que manté el volant constant i en acabar la corba, desfà la rotació que havia donat al volant.

Tot aquest procés, que facilita la conducció i augmenta la seguretat dels conductors dintre de la via, és gràcies a la inserció d’una corba de transició tan en l’inici com en el final de la trajectòria, entre la circumferència que marca la corba i les rectes que l’acoten. Aquesta corba de transició s’anomena clotoide i té la característica que la seva curvatura és proporcional amb la longitud recorreguda. Per tant, això ens permet prendre les corbes gradualment i no fent “volantades”.

Pots trobar una petita presentació en PDF aquí.

 

La corba de transició per al traçat de les carreteres en planta.

Medicions usant el Teorema de Thales. Càlcul d’àlçaries inaccesibles pel mètode de Liu Hui

El mètode que s’utilitzarà l’emprava Liu Hui al s.III dC per midar l’alçària d’una muntanya situada en una illa inaccessible. Es tracta d’aplicar el Teorema de Thales en dos triangles rectangles que contemplen un punt llunyà a través d’una barra vertical. Per a fer-ho es necessitarà una barra vertical amb una mira a l’extrem i que un voluntari es situï al terra. (també es pot fer amb dues barres verticals però seré fidel al mètode inicial).

El croquis que obtindrem serà el següent:

Tales

Aplicant proporcionalitat als dos triangles rectangles ens queda uns sistema d’equacions on desconeixem H i x, ja que totes les altres variables són conegudes. El sistema resultant i la seva resolució és:

Resolucio Tales.PNG

D’on podem obtenir H a partir de les altres dades. És important fer notar que aquest mètode és molt sensible als errors de mesura quan es tracta de les distàncies di d2, ja que petits errors en aquestes distàncies generen grans errors en les mesures d’H.

Medicions usant el Teorema de Thales. Càlcul d’àlçaries inaccesibles pel mètode de Liu Hui

Càlcul del radi de la Terra

En la següent activitat se’ns demana resoldre el final de l’activitat 1. Aquesta diu:

Captura1

Per tant, la situació inicial que es té ara és igual a:

Radi de la terra

On tenim:

  • α,β: són els angle que formen les vares amb el radi de la terra i que depenen de l’ombra que projectin. Són conegudes
  • φ: és l’angle recorregut entre les dues vares. Desconegut
  • La distància entre les dues vares. Coneguda
  • Radi de la Terra. Desconegut i objectiu final de l’activitat

Si ens fixem en el dibuix i mitjançant una mica de trigonometria bàsica:

φ=180- (90-α) – (90 -β)=α+β

Per tant, com sabem la distància rodada entre les vares, amb una simple regla de tres sabrem el perímetre de la Terra.

Fórmula.PNG

Fórmula 2.PNG

On és important que les mesures dels angles es donin en radians.

 

Càlcul del radi de la Terra

Les matemàtiques a l’antiga Roma

La civilització romana dominà el món occidental al voltant del Mediterrani més de 800 anys ininterrompudament, entre el 500 a.C i el 400 d.C. Com a conseqüència d’aquesta longeva existència, avui en dia encara tenim molts de vestigis que provenen directament de la cultura romana (dret, formes de govern, llengua, calendari,etc.). No obstant això, els romans no ens deixaren gaires avenços en les seves matemàtiques ni en la seva numeració. Com pot ser això?

Hem de dir que els romans foren una civilització molt utilitària i pràctica. Per tant, no es preocuparen mai gaire per les ciències. No obstant sí que desenvoluparen en altres matèries com les enginyeries, el comerç o el repartiment de terres. És més, la majoria del seu coneixement provenia de terres conquerides, com va ser Grècia o Egipte, i amb les matemàtiques no fou diferent. Adquiriren molts dels coneixements d’aquestes altres cultures i se’ls feren seus.

Per tant, les matemàtiques dels romans i el seu sistema de numeració eren bastant rudimentàries (hem de dir emperò, que estaven al nivell de les altres civilitzacions limítrofes) i no s’actualitzaren amb el temps. També cal recordar que els romans eren molt pràctics i aquest sistema per a ells era molt útil.

El sistema romà de numeració no era com el nostre. Es tractava d’un sistema no posicional i additiu i cada nombre comptava amb un símbol especial per a nombrar-lo. Els símbols que utilitzaven eren el I,V,X,L,C,D,M que correspondrien a l’1,5,10,50,100,500 i 1000. A més, tenien algunes regles bàsiques per no poder escriure els nombres de maneres diferents com la no possibilitat de escriure 4 vegades el mateix símbol.

Per exemple, el nombre 104:

  • Numeració romana: 104=100+1+1+1+1= CIIII. I com que no es pot repetir 4 vegades ens queda que: 104=100+5-1= CIV.
  • Numeració decimal: 104=1*100+0*10+4*1=104

Com es pot comprovar, en la numeració decimal s’ha introduït el 0. Aquest nombre és molt peculiar perquè els romans no tenien cap símbol pel 0 encara que coneixien el concepte del nores. Això és degut a que no el necessitaren mai ja que el seu sistema de numeració i les seves matemàtiques aplicades no l’empraven. Com hem dit, una civilització molt pràctica.

 

 

Les matemàtiques a l’antiga Roma