Medicions usant el Teorema de Thales. Càlcul d’àlçaries inaccesibles pel mètode de Liu Hui

El mètode que s’utilitzarà l’emprava Liu Hui al s.III dC per midar l’alçària d’una muntanya situada en una illa inaccessible. Es tracta d’aplicar el Teorema de Thales en dos triangles rectangles que contemplen un punt llunyà a través d’una barra vertical. Per a fer-ho es necessitarà una barra vertical amb una mira a l’extrem i que un voluntari es situï al terra. (també es pot fer amb dues barres verticals però seré fidel al mètode inicial).

El croquis que obtindrem serà el següent:

Tales

Aplicant proporcionalitat als dos triangles rectangles ens queda uns sistema d’equacions on desconeixem H i x, ja que totes les altres variables són conegudes. El sistema resultant i la seva resolució és:

Resolucio Tales.PNG

D’on podem obtenir H a partir de les altres dades. És important fer notar que aquest mètode és molt sensible als errors de mesura quan es tracta de les distàncies di d2, ja que petits errors en aquestes distàncies generen grans errors en les mesures d’H.

Medicions usant el Teorema de Thales. Càlcul d’àlçaries inaccesibles pel mètode de Liu Hui

Càlcul del radi de la Terra

En la següent activitat se’ns demana resoldre el final de l’activitat 1. Aquesta diu:

Captura1

Per tant, la situació inicial que es té ara és igual a:

Radi de la terra

On tenim:

  • α,β: són els angle que formen les vares amb el radi de la terra i que depenen de l’ombra que projectin. Són conegudes
  • φ: és l’angle recorregut entre les dues vares. Desconegut
  • La distància entre les dues vares. Coneguda
  • Radi de la Terra. Desconegut i objectiu final de l’activitat

Si ens fixem en el dibuix i mitjançant una mica de trigonometria bàsica:

φ=180- (90-α) – (90 -β)=α+β

Per tant, com sabem la distància rodada entre les vares, amb una simple regla de tres sabrem el perímetre de la Terra.

Fórmula.PNG

Fórmula 2.PNG

On és important que les mesures dels angles es donin en radians.

 

Càlcul del radi de la Terra

Les matemàtiques a l’antiga Roma

La civilització romana dominà el món occidental al voltant del Mediterrani més de 800 anys ininterrompudament, entre el 500 a.C i el 400 d.C. Com a conseqüència d’aquesta longeva existència, avui en dia encara tenim molts de vestigis que provenen directament de la cultura romana (dret, formes de govern, llengua, calendari,etc.). No obstant això, els romans no ens deixaren gaires avenços en les seves matemàtiques ni en la seva numeració. Com pot ser això?

Hem de dir que els romans foren una civilització molt utilitària i pràctica. Per tant, no es preocuparen mai gaire per les ciències. No obstant sí que desenvoluparen en altres matèries com les enginyeries, el comerç o el repartiment de terres. És més, la majoria del seu coneixement provenia de terres conquerides, com va ser Grècia o Egipte, i amb les matemàtiques no fou diferent. Adquiriren molts dels coneixements d’aquestes altres cultures i se’ls feren seus.

Per tant, les matemàtiques dels romans i el seu sistema de numeració eren bastant rudimentàries (hem de dir emperò, que estaven al nivell de les altres civilitzacions limítrofes) i no s’actualitzaren amb el temps. També cal recordar que els romans eren molt pràctics i aquest sistema per a ells era molt útil.

El sistema romà de numeració no era com el nostre. Es tractava d’un sistema no posicional i additiu i cada nombre comptava amb un símbol especial per a nombrar-lo. Els símbols que utilitzaven eren el I,V,X,L,C,D,M que correspondrien a l’1,5,10,50,100,500 i 1000. A més, tenien algunes regles bàsiques per no poder escriure els nombres de maneres diferents com la no possibilitat de escriure 4 vegades el mateix símbol.

Per exemple, el nombre 104:

  • Numeració romana: 104=100+1+1+1+1= CIIII. I com que no es pot repetir 4 vegades ens queda que: 104=100+5-1= CIV.
  • Numeració decimal: 104=1*100+0*10+4*1=104

Com es pot comprovar, en la numeració decimal s’ha introduït el 0. Aquest nombre és molt peculiar perquè els romans no tenien cap símbol pel 0 encara que coneixien el concepte del nores. Això és degut a que no el necessitaren mai ja que el seu sistema de numeració i les seves matemàtiques aplicades no l’empraven. Com hem dit, una civilització molt pràctica.

 

 

Les matemàtiques a l’antiga Roma